3. В параллелограмме ABCD диагональ АС в 2 раза больше стороны АВ и ∠ACD = 77°. Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим \( AB = CD = a \). По условию \( AC = 2a \).

Рассмотрим треугольник ACD. Стороны треугольника равны \( AC = 2a \), \( CD = a \). В этом треугольнике \( \angle ACD = 77^{\circ} \).

Применим теорему косинусов к треугольнику ACD:

\( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD) \)

\( AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot (2a) \cdot a \cdot \cos(77^{\circ}) \)

\( AD^2 = 4a^2 + a^2 - 4a^2 \cos(77^{\circ}) \)

\( AD^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(77^{\circ}) \)

\( AD^2 = a^2 (5 - 4 \cos(77^{\circ})) \)

\( AD = a \sqrt{5 - 4 \cos(77^{\circ})} \)

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей как O. Тогда \( AO = OC = \frac{AC}{2} = a \), \( BO = OD \).

Рассмотрим треугольник AOD. Его стороны равны \( AO = a \), \( AD = a \sqrt{5 - 4 \cos(77^{\circ})} \).

Рассмотрим треугольник COD. Его стороны равны \( OC = a \), \( CD = a \).

В параллелограмме ABCD \( \angle CAD = \angle ACB \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC). Обозначим \( \angle ACB = \alpha \). Тогда \( \angle CAD = \alpha \).

В треугольнике ABC, по теореме синусов:

\( \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \)

\( \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{2a}{\sin(\angle ABC)} \)

\( \sin(\angle ABC) = 2 \sin \alpha \)

\( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB \) (сумма углов треугольника)

В параллелограмме \( \angle A + \angle B = 180^{\circ} \). \( \angle A = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha \).

\( 2\alpha + \angle ABC = 180^{\circ} \)

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 2\alpha \)

\( \sin(180^{\circ} - 2\alpha) = 2 \sin \alpha \)

\( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \)

\( 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \sin \alpha \)

Так как \( \alpha \) — угол треугольника, \( \sin \alpha
e 0 \). Делим на \( 2 \sin \alpha \):

\( \cos \alpha = 1 \)

Это означает, что \( \alpha = 0^{\circ} \), что невозможно для треугольника. Значит, \( \angle A \) и \( \angle B \) не те углы, что мы обозначили. Пересмотрим условие.

Условие: \( \angle ACD = 77^{\circ} \). Пусть \( \angle CAD = \beta \). Тогда \( \angle BAC = \angle ACD = 77^{\circ} \) (накрест лежащие углы).

В треугольнике ACD, \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD \) (это неверно, \( \angle ADC \) не является углом треугольника ACD).

В параллелограмме ABCD, \( \angle BCD = \angle BAD \) и \( \angle ABC = \angle ADC \). \( \angle BAD + \angle ABC = 180^{\circ} \).

\( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \)

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \)

У нас есть \( AC = 2AB \). Пусть \( AB = a \), тогда \( AC = 2a \). В \( \triangle ABC \): \( AB = a, AC = 2a \).

По теореме косинусов для \( \triangle ABC \):

\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( BC^2 = a^2 + (2a)^2 - 2 \cdot a \cdot 2a \cdot \cos(\angle BAC) \)

\( BC^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(\angle BAC) \)

В \( \triangle ADC \): \( CD = a, AC = 2a, \angle ACD = 77^{\circ} \).

По теореме косинусов для \( \triangle ADC \):

\( AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos(\angle ACD) \)

\( AD^2 = (2a)^2 + a^2 - 2 \cdot (2a) \cdot a \cdot \cos(77^{\circ}) \)

\( AD^2 = 5a^2 - 4a^2 \cos(77^{\circ}) \)

Так как ABCD — параллелограмм, \( AD = BC \). Следовательно,

\( 5a^2 - 4a^2 \cos(\angle BAC) = 5a^2 - 4a^2 \cos(77^{\circ}) \)

\( -4a^2 \cos(\angle BAC) = -4a^2 \cos(77^{\circ}) \)

\( \cos(\angle BAC) = \cos(77^{\circ}) \)

\( \angle BAC = 77^{\circ} \).

Теперь найдем \( \angle CAD \).

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD \) и \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD \).

\( \angle BAD = \angle BCD \)

\( 77^{\circ} + \angle CAD = \angle BCA + 77^{\circ} \)

\( \angle CAD = \angle BCA \)

В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle BCA = 180^{\circ} - 77^{\circ} - \angle CAD \).

В \( \triangle ADC \): \( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle CAD - \angle ACD = 180^{\circ} - \angle CAD - 77^{\circ} \).

Так как \( \angle ABC = \angle ADC \) (противоположные углы параллелограмма), это условие выполняется.

Найдем \( \angle BCA \).

По теореме синусов в \( \triangle ABC \):

\( \frac{AB}{\sin(\angle BCA)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} \)

\( \frac{a}{\sin(\angle BCA)} = \frac{2a}{\sin(180^{\circ} - 77^{\circ} - \angle BCA)} \)

\( \frac{a}{\sin(\angle BCA)} = \frac{2a}{\sin(103^{\circ} - \angle BCA)} \)

\( \sin(103^{\circ} - \angle BCA) = 2 \sin(\angle BCA) \)

\( \sin(103^{\circ}) \cos(\angle BCA) - \cos(103^{\circ}) \sin(\angle BCA) = 2 \sin(\angle BCA) \)

Разделим на \( \cos(\angle BCA) \) (при условии \( \cos(\angle BCA)
e 0 \)):

\( \sin(103^{\circ}) - \cos(103^{\circ}) \tan(\angle BCA) = 2 \tan(\angle BCA) \)

\( \sin(103^{\circ}) = (2 + \cos(103^{\circ})) \tan(\angle BCA) \)

\( \tan(\angle BCA) = \frac{\sin(103^{\circ})}{2 + \cos(103^{\circ})} \)

\( \sin(103^{\circ}) \approx 0.9744 \), \( \cos(103^{\circ}) \approx -0.2250 \)

\( \tan(\angle BCA) \approx \frac{0.9744}{2 - 0.2250} = \frac{0.9744}{1.7750} \approx 0.5489 \)

\( \angle BCA \approx \arctan(0.5489) \approx 28.77^{\circ} \)

Значит, \( \angle CAD = \angle BCA \approx 28.77^{\circ} \).

Теперь найдем углы между диагоналями. Точка пересечения диагоналей - O. \( AO = OC = a \). \( \angle AOC = ? \), \( \angle AOD = ? \).

В \( \triangle AOC \), \( AO = OC = a \). \( \angle OAC = \angle BAC = 77^{\circ} \). \( \angle OCA = \angle BCA \approx 28.77^{\circ} \).

\( \angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - (77^{\circ} + 28.77^{\circ}) = 180^{\circ} - 105.77^{\circ} = 74.23^{\circ} \).

Угол \( \angle AOD \) смежный с \( \angle AOC \). \( \angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 74.23^{\circ} = 105.77^{\circ} \).

Углы между диагоналями: \( 74.23^{\circ} \) и \( 105.77^{\circ} \).

Меньший угол равен \( 74.23^{\circ} \).

Проверим условие \( \angle ACD = 77^{\circ} \). \( \angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 28.77^{\circ} + 77^{\circ} = 105.77^{\circ} \).

\( \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = 77^{\circ} + 28.77^{\circ} = 105.77^{\circ} \).

Углы \( \angle BAD \) и \( \angle BCD \) равны, что соответствует свойству параллелограмма.

Углы \( \angle ABC \) и \( \angle ADC \).

\( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAD = 180^{\circ} - 105.77^{\circ} = 74.23^{\circ} \).

\( \angle ADC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 105.77^{\circ} = 74.23^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ADC \). Это тоже верно.

Значит, меньше угол между диагоналями равен \( 74.23^{\circ} \). Округляем до целого.

Ответ: 74