5. Примеры использования интеграла в практической деятельности моряка. Вычислить интеграл: ∫₀² (x² + 2x) dx.

Решение:

Для вычисления определённого интеграла найдём первообразную для функции \( f(x) = x^2 + 2x \) и вычислим её значение на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

1. Найдём первообразную \( F(x) \) функции \( f(x) = x^2 + 2x \):

\[ F(x) = \int (x^2 + 2x) dx = \frac{x^3}{3} + 2\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^3}{3} + x^2 + C \]

2. Вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \):

\[ \int_0^2 (x^2 + 2x) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 \right]_0^2 \]

3. Подставим верхний предел \( x = 2 \) и нижний предел \( x = 0 \):

\[ \left( \frac{2^3}{3} + 2^2 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0^2 \right) \]

\[ \left( \frac{8}{3} + 4 \right) - (0) \]

4. Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{8}{3} + \frac{12}{3} = \frac{20}{3} \]

Ответ: \( \frac{20}{3} \).