4. Свойства производной. Найти точки экстремума функции: y = x³ - 27x + 6.

Решение:

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти её производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение.

1. Найдём производную функции \( y = x^3 - 27x + 6 \):

\[ y' = (x^3)' - (27x)' + (6)' \]

\[ y' = 3x^2 - 27 \]

2. Приравняем производную к нулю:

\[ 3x^2 - 27 = 0 \]

3. Решим полученное уравнение:

\[ 3x^2 = 27 \]

\[ x^2 = \frac{27}{3} \]

\[ x^2 = 9 \]

\[ x = \pm\sqrt{9} \]

\[ x = \pm 3 \]

4. Точки \( x = 3 \) и \( x = -3 \) являются критическими точками. Проверим знаки производной на интервалах:
• При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)), \( y' = 3(-4)^2 - 27 = 3(16) - 27 = 48 - 27 = 21 > 0 \) (функция возрастает).
• При \( -3 < x < 3 \) (например, \( x = 0 \)), \( y' = 3(0)^2 - 27 = -27 < 0 \) (функция убывает).
• При \( x > 3 \) (например, \( x = 4 \)), \( y' = 3(4)^2 - 27 = 3(16) - 27 = 48 - 27 = 21 > 0 \) (функция возрастает).
5. Следовательно, \( x = -3 \) — точка максимума, а \( x = 3 \) — точка минимума.

Ответ: Точки экстремума функции: \( x = -3 \) (точка максимума) и \( x = 3 \) (точка минимума).