5. При проектировании декоративной башни архитектор запланировал установить на вершине элемент в форме правильной четырёхугольной пирамиды. Все рёбра элемента должны быть равны 8 см. Для расчёта нагрузки на несущие конструкции нужно знать объём этой детали. Найдите объём пирамиды в кубических сантиметрах.

Решение:

Объём пирамиды вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h \).

Основание — правильный четырёхугольник, то есть квадрат. Все рёбра пирамиды равны 8 см, значит, сторона основания \( a = 8 \) см.

Площадь основания:

\[ S_{осн} = a^2 = 8^2 = 64 \) см².

Чтобы найти высоту пирамиды \( h \), рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l = 8 \) см, высотой пирамиды \( h \) и радиусом описанной окружности основания \( R \).

Диагональ квадрата основания \( d = a\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \) см.

Радиус описанной окружности основания равен половине диагонали:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} \) см.

Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику (высота, радиус, боковое ребро):

\[ h^2 + R^2 = l^2 \]

\[ h^2 + (4\sqrt{2})^2 = 8^2 \]

\[ h^2 + (16 \cdot 2) = 64 \]

\[ h^2 + 32 = 64 \]

\[ h^2 = 64 - 32 = 32 \]

\[ h = \(\sqrt{32}\) = 4\(\sqrt{2}\) \) см.

Вычисляем объём пирамиды:

\[ V = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) S_{осн} \(\cdot\) h = \(\frac{1}{3}\) \(\cdot\) 64 \(\cdot\) 4\(\sqrt{2}\) = \(\frac{256\sqrt{2}}{3}\) \) см³.

Ответ: \(\frac{256\sqrt{2}}{3}\) см³.