4. На заводе изготавливают декоративные колонны в форме прямых призм. Основание колонны — равнобедренный треугольник: длина основания 10 см, боковые стороны — по 13 см. Высота колонны составляет 15 см. Рассчитайте объём материала (в см³), необходимый для изготовления одной такой колонны.

Решение:

Колонна имеет форму прямой призмы. Объём призмы вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \).

Основание призмы — равнобедренный треугольник со стороной основания \( a = 10 \) см и боковыми сторонами \( b = 13 \) см.

Чтобы найти площадь треугольника, нам нужна высота. Проведём высоту \( h_{тр} \) к основанию. Она разделит основание пополам (на отрезки по 5 см) и образует два прямоугольных треугольника с гипотенузой 13 см и катетом 5 см.

По теореме Пифагора найдём высоту треугольника:

\[ h_{тр}^2 + 5^2 = 13^2 \]

\[ h_{тр}^2 + 25 = 169 \]

\[ h_{тр}^2 = 169 - 25 = 144 \]

\[ h_{тр} = \(\sqrt{144}\) = 12 \) см.

Площадь основания (треугольника):

\[ S_{осн} = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) основание \(\cdot\) высота = \(\frac{1}{2}\) \(\cdot\) 10 \(\cdot\) 12 = 60 \) см².

Высота колонны (призмы) \( h_{призмы} = 15 \) см.

Вычисляем объём материала:

\[ V = S_{осн} \(\cdot\) h_{призмы} = 60 \(\cdot\) 15 = 900 \) см³.

Ответ: 900 см³.