3. Определите объём прямоугольного параллелепипеда. Известно, что длины сторон основания составляют 5 см и 12 см, а угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45°.

Решение:

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле \( V = S_{осн} \cdot h \), где \( S_{осн} \) — площадь основания, \( h \) — высота.

Основание — прямоугольник со сторонами \( a = 5 \) см и \( b = 12 \) см.

Площадь основания:

\[ S_{осн} = a \(\cdot\) b = 5 \(\cdot\) 12 = 60 \) см².

Диагональ основания \( d_{осн} \) найдём по теореме Пифагора:

\[ d_{осн} = \(\sqrt{a^2 + b^2}\) = \(\sqrt{5^2 + 12^2}\) = \(\sqrt{25 + 144}\) = \(\sqrt{169}\) = 13 \) см.

Угол между диагональю параллелепипеда \( d \) и плоскостью основания равен 45°. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю основания \( d_{осн} \), высотой параллелепипеда \( h \) и диагональю параллелепипеда \( d \). В этом треугольнике угол между \( d \) и \( d_{осн} \) равен 45°, а \( h \) является противолежащим катетом к этому углу.

Так как тангенс 45° равен 1, то \( \tan(45^{\circ}) = \frac{h}{d_{осн}} \).

\[ 1 = \(\frac{h}{13}\) \) \( \Rightarrow h = 13 \) см.

Теперь вычислим объём параллелепипеда:

\[ V = S_{осн} \(\cdot\) h = 60 \(\cdot\) 13 = 780 \) см³.

Ответ: 780 см³.