№5 Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней.

Решение:

Пусть даны боковая сторона \( a \) и медиана \( m_a \) к ней равнобедренного треугольника.

Алгоритм построения:

1. Возьмем отрезок AB, равный данной боковой стороне \( a \).
2. На перпендикуляре к отрезку AB, проходящем через середину M отрезка AB, отложим отрезок MN, равный данной медиане \( m_a \).
3. Через точку N проведем прямую, параллельную AB.
4. От точки N на этой прямой, в разные стороны, отложим отрезки NC и ND, равные друг другу.
5. Соединим точки A и C, B и C. Получим \( \triangle ABC \).
6. Соединим точки A и D, B и D. Получим \( \triangle ABD \).

Обоснование: В \( \triangle ABC \) сторона AC = BC (по построению, т.к. \( \triangle ANC \) и \( \triangle BNC \) равны по двум сторонам и углу между ними, или по теореме Пифагора, если рассматривать \( \triangle AMC \) и \( \triangle BMC \) как прямоугольные, где \( AM=BM \) и \( CM=m_a \)). Треугольник ABC — равнобедренный. Медиана CM = \( m_a \). Сторона AC = \( a \) (по построению).

Аналогично строится \( \triangle ABD \).

Ответ: Построение выполнено.