№3. В окружности с центром О проведены диаметр ОК и хорды КА и КВ так, что ∠OAK = ∠OBK. Докажите, что AK = BK.

Решение:

Рассмотрим треугольники OAK и OBK.

1. OA = OB (радиусы окружности).
2. OK — общая сторона.
3. \( \angle OAK = \angle OBK \) (дано).

По первому признаку равенства треугольников, треугольники OAK и OBK не являются равными, так как нам неизвестен угол между сторонами OA и OK, и OB и OK.

Рассмотрим треугольники OAK и OBK:

1. OA = OB (радиусы).
2. \( \angle OAK = \angle OBK \) (дано).
3. \( \angle AKO = \angle BKO \) (так как \( \triangle OAK \) и \( \triangle OBK \) равнобедренные, \( OA=OK \) и \( OB=OK \), то \( \angle OKA = 90° - \angle OAK \) и \( \angle OKB = 90° - \angle OBK \). Поскольку \( \angle OAK = \angle OBK \), то \( \angle OKA = \angle OKB \)).

По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), \( \triangle OAK = \triangle OBK \). Следовательно, AK = BK.

Доказано.