5. Плоскости а и в параллельны. Из точки К, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости а и в в точках А1 и В1, а другой — в точках А2 и В2 соответственно. Найдите отрезок В1В2, если он на 4 см больше отрезка А1А2, КВ1 = 7 см, А1В1 = 4 см.

Решение:

Дано:

\( \alpha ∥ \beta \).

\( K \notin \alpha, K \notin \beta \), \( K \) не между \( \alpha \) и \( \beta \).

Луч 1: \( KA_1 \) пересекает \( \alpha \) в \( A_1 \), \( \beta \) в \( B_1 \).

Луч 2: \( KA_2 \) пересекает \( \alpha \) в \( A_2 \), \( \beta \) в \( B_2 \).

\( B_1B_2 = A_1A_2 + 4 \) см.

\( KB_1 = 7 \) см.

\( A_1B_1 = 4 \) см.

Найти: \( B_1B_2 \).

Доказательство:

Рассмотрим два луча, исходящих из точки \( K \), пересекающих параллельные плоскости \( \alpha \) и \( \beta \).

1. Первый луч: \( K, A_1, B_1 \) лежат на одном луче. Отрезки \( KA_1 \) и \( KB_1 \) лежат на этом луче. Из условия \( KB_1 = 7 \) см и \( A_1B_1 = 4 \) см. Так как \( A_1 \) находится между \( K \) и \( B_1 \) (точка \( A_1 \) лежит в плоскости \( \alpha \), а \( B_1 \) - в плоскости \( \beta \), и \( \alpha \) находится «ближе» к \( K \) из-за расположения \( K \) вне плоскостей), то \( KA_1 = KB_1 - A_1B_1 = 7 - 4 = 3 \) см.

2. Второй луч: \( K, A_2, B_2 \) лежат на одном луче. Аналогично, \( KA_2 = KB_2 - A_2B_2 \).

3. Подобие треугольников:

Рассмотрим \( △ KA_1A_2 \) и \( △ KB_1B_2 \).

Так как \( △ KA_1A_2 \) и \( △ KB_1B_2 \) имеют общий угол при вершине \( K \) и соответственные стороны параллельны ( \( A_1A_2 ∥ B_1B_2 \) как отрезки, лежащие в параллельных плоскостях и пересекаемые одними и теми же лучами), то \( △ KA_1A_2 ~ △ KB_1B_2 \).

4. Пропорциональность сторон:

Из подобия следует:

\( \frac{KA_1}{KB_1} = \frac{KA_2}{KB_2} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2} \).

Мы знаем \( KA_1 = 3 \) см и \( KB_1 = 7 \) см. Значит, коэффициент подобия равен \( k = \frac{3}{7} \).

Следовательно, \( \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{3}{7} \), или \( 7 ⋅ A_1A_2 = 3 ⋅ B_1B_2 \).

5. Используем условие:

\( B_1B_2 = A_1A_2 + 4 \).

Подставляем во второе уравнение:

\( 7 ⋅ A_1A_2 = 3 ⋅ (A_1A_2 + 4) \)

\( 7 A_1A_2 = 3 A_1A_2 + 12 \)

\( 4 A_1A_2 = 12 \)

\( A_1A_2 = 3 \) см.

6. Находим В1В2:

\( B_1B_2 = A_1A_2 + 4 = 3 + 4 = 7 \) см.

Ответ: B1B2 = 7 см.