4. Плоскость а пересекает стороны MN и MP треугольника MNP в точках А и В соответственно и параллельна стороне NP, АВ = 6 см, MA:NA = 1:4. Найдите сторону NP треугольника.

Решение:

Дано:

Плоскость \( \alpha \) пересекает \( △ MNP \).

\( A \in MN, B \in MP \).

\( AB ∥ NP \).

\( AB = 6 \) см.

\( MA:NA = 1:4 \).

Найти: \( NP \).

Доказательство:

1. Так как плоскость \( \alpha \) пересекает \( △ MNP \) по отрезку \( AB \) и \( AB ∥ NP \), то \( △ MAB ~ △ MNP \) по двум углам (угол \( M \) — общий, \( ∠ MAB = ∠ MNP \) как соответственные при параллельных \( AB \) и \( NP \) и секущей \( MN \)).
2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \( \frac{MA}{MN} = \frac{MB}{MP} = \frac{AB}{NP} \).
3. Из условия \( MA:NA = 1:4 \) следует, что \( MN = MA + NA \). Пусть \( MA = x \), тогда \( NA = 4x \). Следовательно, \( MN = x + 4x = 5x \).
4. Тогда отношение \( \frac{MA}{MN} = \frac{x}{5x} = \frac{1}{5} \).
5. Используя пропорцию из подобия: \( \frac{AB}{NP} = \frac{MA}{MN} \).
6. Подставляем известные значения: \( \frac{6 \text{ см}}{NP} = \frac{1}{5} \).
7. Решаем уравнение: \( NP = 6 \text{ см} \cdot 5 = 30 \) см.

Ответ: NP = 30 см.