3. Прямые с и d параллельны. Прямая m пересекает прямую с в точке С, а прямую d в точке D. Доказать, что прямые c, d и m лежат в одной плоскости.

Решение:

Дано: \( c ∥ d \), \( m ∩ c = C \), \( m ∩ d = D \).

Доказать: \( c, d, m \) лежат в одной плоскости.

Доказательство:

1. Через две пересекающиеся прямые \( m \) и \( c \) проходит единственная плоскость. Обозначим её \( \alpha \).
2. По условию, прямая \( c \) лежит в плоскости \( \alpha \) (так как \( m ∩ c = C \) и \( C \in c \)).
3. По условию, прямая \( m \) лежит в плоскости \( \alpha \) (так как \( m ∩ c = C \) и \( m \) — одна из пересекающихся прямых).
4. Так как \( c ∥ d \), то прямая \( d \) либо лежит в плоскости \( \alpha \), либо параллельна ей.
5. Прямая \( d \) проходит через точку \( D \), которая лежит на прямой \( m \). А прямая \( m \) лежит в плоскости \( \alpha \). Значит, точка \( D \) лежит в плоскости \( \alpha \).
6. Если прямая \( d \) параллельна плоскости \( \alpha \) и проходит через точку \( D \) в этой плоскости, то прямая \( d \) должна лежать в плоскости \( \alpha \).
7. Таким образом, прямые \( c, d, m \) лежат в одной плоскости \( \alpha \).

Что и требовалось доказать.