5. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 100, ее большая боковая сторона равна 28. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD (∠A = ∠D = 90°), описанная около окружности.
• Периметр (P) = 100.
• Большая боковая сторона (например, CD) = 28.
• Нужно найти радиус окружности (r).

Решение:

Свойство трапеции, описанной около окружности: сумма противоположных сторон равна.

AB + CD = BC + AD

Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон (AD) является высотой, и она равна диаметру вписанной окружности. Значит, AD = 2r.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = AB + BC + CD + AD.

Подставим известные значения и свойство описанной трапеции:

P = 100

CD = 28

AD = 2r

AB + CD = BC + AD => AB + 28 = BC + 2r

Периметр: 100 = AB + BC + CD + AD

Подставим AB + 28 = BC + 2r в периметр:

100 = (BC + 2r) + (CD + AD)

100 = (AB + 28) + (28 + 2r)

100 = AB + 56 + 2r

AB + 2r = 44

Теперь используем свойство описанной трапеции: сумма оснований равна сумме боковых сторон.

AB + CD = BC + AD

AB + 28 = BC + 2r

Также, периметр P = 2 * (сумма боковых сторон) = 2 * (сумма оснований).

100 = 2 * (AB + CD) => 50 = AB + 28 => AB = 22.

Теперь подставим AB = 22 в AB + 2r = 44:

22 + 2r = 44

2r = 44 - 22

2r = 22

r = 11

Проверка:

Основания: AB = 22, CD = 28.

Боковые стороны: AD = 2r = 2*11 = 22. BC. Нам нужно найти BC.

В прямоугольной трапеции, опустим высоту из C на AD. Получим прямоугольник ABCE и прямоугольный треугольник CDE. ED = AB = 22. CD = CE + ED. Но CD - это основание. AD - высота.

Давайте пересмотрим обозначения. Пусть основания - это AB и CD, а боковые стороны - AD и BC.

Так как трапеция прямоугольная, пусть ∠A = ∠D = 90°.

Тогда AD - высота, и AD = 2r.

AB и CD - основания.

BC - боковая сторона.

В задаче сказано