4. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 32, её большая боковая сторона равна 9. Найдите радиус окружности.

Дано:

• Прямоугольная трапеция ABCD (∠A = ∠D = 90°), описанная около окружности.
• Периметр (P) = 32.
• Большая боковая сторона (например, CD) = 9.
• Нужно найти радиус окружности (r).

Решение:

Свойство трапеции, описанной около окружности: сумма противоположных сторон равна.

AB + CD = BC + AD

Так как трапеция прямоугольная, одна из боковых сторон (AD) является высотой, и она равна диаметру вписанной окружности. Значит, AD = 2r.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: P = AB + BC + CD + AD.

Из свойства описанной трапеции, сумма оснований равна сумме боковых сторон:

BC + AD = AB + CD

Тогда периметр можно записать как:

P = (AB + CD) + (BC + AD) = 2 * (AB + CD)

Или как:

P = (BC + AD) + (AB + CD) = 2 * (BC + AD)

В нашем случае, большую боковую сторону обозначим как CD = 9.

Значит, AB + 9 = BC + AD.

Периметр: 32 = AB + BC + 9 + AD.

Подставим AB + 9 = BC + AD в периметр:

32 = (BC + AD) + (BC + AD)

32 = 2 * (BC + AD)

BC + AD = 16

Поскольку AD = 2r, то BC + 2r = 16.

Также, мы знаем, что AB + CD = BC + AD, следовательно:

AB + 9 = 16

AB = 16 - 9 = 7

Теперь используем свойство описанной трапеции для прямоугольной трапеции. Если опустить высоту из вершины C на основание AD, мы получим прямоугольник (и еще один прямоугольный треугольник). Большая боковая сторона (CD) равна высоте, то есть диаметру вписанной окружности. В данном случае, большая боковая сторона — это та, которая не является высотой. Поэтому, если AD - высота, то CD - другая боковая сторона.

В прямоугольной трапеции, описанной около окружности, высота (она же одно из оснований, например AD) равна диаметру окружности. Другая боковая сторона (BC) является гипотенузой.

Из рисунка и условия, у нас есть:

AD = 2r

AB - одно основание, CD - другое основание

BC - боковая сторона.

В условии сказано, что