5. Найдите все функции, имеющие производную y' = 2x - x^2.

Решение:

Чтобы найти все функции, имеющие производную \( y' = 2x - x^2 \), нужно проинтегрировать данное выражение.

Функция \( y(x) \) является первообразной для \( y'(x) \). Интегрируем \( y'(x) \) по \( x \):

\[ y(x) = \int (2x - x^2) dx \]

Используем правила интегрирования:

\[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]

\[ y(x) = 2 \int x dx - \int x^2 dx \]

\[ y(x) = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - \frac{x^{2+1}}{2+1} + C \]

\[ y(x) = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]

\[ y(x) = x^2 - \frac{x^3}{3} + C \]

где \( C \) — произвольная постоянная.

Ответ: \( y(x) = x^2 - \frac{x^3}{3} + C \), где \( C \) — любое действительное число.