4. Функция y = f(x) задана своим графиком (рис. 48). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x f(x) > 0; в) промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения; г) точки экстремума функции; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Рассмотрим график функции \( y = f(x) \) (рис. 48).

а) Область определения функции

Область определения функции — это все допустимые значения \( x \). По графику видно, что функция определена для \( x \) от некоторого значения, близкого к -1 (но не включая его), до некоторого значения, близкого к 2 (включая его). Также есть изолированная точка в районе \( x=0 \) с \( y > 0 \). Однако, судя по форме графика, предполагается, что область определения — это интервал, на котором нарисован график. Предположим, что крайние точки графика являются началом и концом области определения. Примерно, это интервал \( (-1; 2] \).

б) При каких значениях x f(x) > 0

Функция \( f(x) \) положительна, когда её график находится выше оси \( Ox \). По графику это соответствует интервалам, где \( y > 0 \). Это примерно \( x \) от -1 до 1 (не включая 1) и точка \( x=0 \) (если она учитывается как отдельная точка, где \( f(x) > 0 \)). Предположим, что речь идёт об основном непрерывном участке графика. Тогда \( f(x) > 0 \) при \( x \) примерно от -1 до 1.

в) Промежутки, на которых производная принимает положительные, отрицательные значения

Производная \( f'(x) \) положительна там, где функция \( f(x) \) возрастает, и отрицательна там, где функция \( f(x) \) убывает.

• Функция \( f(x) \) возрастает ( \( f'(x) > 0 \) ) примерно на интервале \( (-1; 0) \) и на участке от \( x=0 \) до первого максимума.


• Функция \( f(x) \) убывает ( \( f'(x) < 0 \) ) примерно на интервале от первого максимума до точки \( x=1 \), а также после точки \( x=1 \) до конца графика (примерно до \( x=2 \)).

г) Точки экстремума функции

Точки экстремума — это точки максимума и минимума. По графику видно, что есть локальный максимум примерно при \( x=0 \) (или около него) и локальный минимум примерно при \( x=1 \).

д) Наибольшее и наименьшее значения функции

Наибольшее значение функции на данном интервале, судя по графику, достигается в точке локального максимума (примерно при \( x=0 \), \( y \approx 1.5 \)). Наименьшее значение достигается на конце интервала (примерно при \( x=2 \), \( y \approx 0.5 \)) или в точке локального минимума (примерно при \( x=1 \), \( y \approx 0 \)). Без точных значений координат точек сложно дать однозначный ответ. Если предположить, что \( x=1 \) является минимумом, а \( x=2 \) — конечная точка, то наименьшее значение будет \( y=0 \) в точке \( x=1 \). Наибольшее значение — в точке максимума.

Примечание: Для точных ответов необходимы числовые значения координат ключевых точек на графике.