5. Найдите точки экстремума функции f(x) = x⁵ - 5x⁴ + 3.

Решение:

Чтобы найти точки экстремума функции, необходимо найти её первую производную, приравнять её к нулю и решить полученное уравнение. Затем проверить знак производной на интервалах.

1. Найдем производную функции \(f(x) = x^5 - 5x^4 + 3\):

\[ f'(x) = (x^5)' - (5x^4)' + (3)' \]

\[ f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 0 \]

\[ f'(x) = 5x^4 - 20x^3 \]

2. Приравняем производную к нулю:

\[ 5x^4 - 20x^3 = 0 \]

Вынесем общий множитель \(5x^3\):

\[ 5x^3(x - 4) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 5x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = 0 \Rightarrow x = 0 \]

или

\[ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \]

Критические точки: \(x = 0\) и \(x = 4\).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками: \((-\infty; 0)\), \((0; 4)\), \((4; \infty)\).

• При \(x < 0\) (например, \(x = -1\)): \(f'(-1) = 5(-1)^3(-1 - 4) = 5(-1)(-5) = 25 > 0\). Функция возрастает.
• При \(0 < x < 4\) (например, \(x = 1\)): \(f'(1) = 5(1)^3(1 - 4) = 5(1)(-3) = -15 < 0\). Функция убывает.
• При \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(f'(5) = 5(5)^3(5 - 4) = 5(125)(1) = 625 > 0\). Функция возрастает.

\(x = 0\) — точка максимума (производная меняет знак с '+' на '-').

\(x = 4\) — точка минимума (производная меняет знак с '-' на '+').

Ответ: Точка максимума: \(x = 0\). Точка минимума: \(x = 4\).