1. Найдите область определения функции y = lg\(\frac{32-8x}{x+1}\).

Решение:

Для нахождения области определения логарифмической функции необходимо, чтобы выражение под знаком логарифма было строго положительным.

\(\frac{32-8x}{x+1} > 0\)

Решим дробно-рациональное неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя:

• \(32 - 8x = 0 \Rightarrow 8x = 32 \Rightarrow x = 4\)
• \(x+1 = 0 \Rightarrow x = -1\)

Нанесем корни на числовую прямую и определим знаки интервалов.

\(x = -1\) — точка, выколотая (знаменатель не может быть равен нулю).

\(x = 4\) — точка, выколотая (аргумент логарифма должен быть строго больше нуля).

Проверим знаки на интервалах:

• \(x < -1\): Возьмем \(x = -2\). \(\frac{32-8(-2)}{-2+1} = \frac{32+16}{-1} = -48 < 0\).
• \(-1 < x < 4\): Возьмем \(x = 0\). \(\frac{32-8(0)}{0+1} = \frac{32}{1} = 32 > 0\).
• \(x > 4\): Возьмем \(x = 5\). \(\frac{32-8(5)}{5+1} = \frac{32-40}{6} = \frac{-8}{6} < 0\).

Таким образом, неравенство \(\frac{32-8x}{x+1} > 0\) выполняется при \(-1 < x < 4\).

Ответ: \((-1; 4)\).