2. Решите неравенство \(2^{x+1} + \frac{1}{2} \cdot 2^{x} < 5\).

Решение:

Преобразуем неравенство, используя свойства степеней:

\(2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x\)

\(\frac{1}{2} \cdot 2^x = 2^{-1} \cdot 2^x = 2^{x-1}\)

Подставим в исходное неравенство:

\[ 2 \cdot 2^x + \frac{1}{2} \cdot 2^x < 5 \]

Вынесем \(2^x\) за скобки:

\[ 2^x \left( 2 + \frac{1}{2} \right) < 5 \]

\[ 2^x \left( \frac{4}{2} + \frac{1}{2} \right) < 5 \]

\[ 2^x \cdot \frac{5}{2} < 5 \]

Разделим обе части на \(\frac{5}{2}\) (при делении на положительное число знак неравенства не меняется):

\[ 2^x < 5 : \frac{5}{2} \]

\[ 2^x < 5 \cdot \frac{2}{5} \]

\[ 2^x < 2 \]

Так как основание степени \(2 > 1\), показатели степени можно сравнить напрямую:

\[ x < 1 \]

Ответ: \((-\infty; 1)\).