5. Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и не превышающих 80.

Решение:

Нам нужно найти сумму натуральных чисел, кратных 3, которые меньше или равны 80. Эти числа образуют арифметическую прогрессию:

3, 6, 9, ..., 78.

1. Определим первый член \( a_1 \) и разность \( d \):

• \( a_1 = 3 \)
• \( d = 3 \)

2. Найдем последний член прогрессии, который не превышает 80. Это число 78, так как \( 78 = 3 \cdot 26 \) и \( 81 = 3 \cdot 27 \) (больше 80).

3. Найдем количество членов прогрессии \( n \), используя формулу \( a_n = a_1 + (n-1)d \):

\[ 78 = 3 + (n-1)3 \]\[ 78 - 3 = (n-1)3 \]\[ 75 = (n-1)3 \]\[ n-1 = \frac{75}{3} \]\[ n-1 = 25 \]\[ n = 26 \]

4. Найдем сумму первых \( n \) членов прогрессии по формуле \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \):

\[ S_{26} = \frac{3 + 78}{2} \cdot 26 \]\[ S_{26} = \frac{81}{2} \cdot 26 \]\[ S_{26} = 81 \cdot 13 \]

Вычислим \( 81 \cdot 13 \):

\[ 81 \cdot 13 = 81 \cdot (10 + 3) = 810 + 243 = 1053 \]

Ответ: 1053