5. На окружности во разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и К. Известно, что NBA=48°. Найдите угол SMB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Точка М находится на окружности, а AB — диаметр. Угол AMB — вписанный угол, опирающийся на диаметр, поэтому он равен 90°.

В прямоугольном треугольнике AMB:

\( \angle MAB + \angle MBA = 90^{\circ} \)

Дано \( \angle MBA = 48^{\circ} \). Следовательно, \( \angle MAB = 90^{\circ} - 48^{\circ} = 42^{\circ} \).

Точка K также находится на окружности. Угол SKA — вписанный угол, опирающийся на дугу SA. Угол SMA — вписанный угол, опирающийся на дугу SA.

Углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Значит, \( \angle SMA = \angle SKA \).

Рассмотрим треугольник ASB. Он также вписан в окружность и опирается на диаметр AB, значит \( \angle ASB = 90^{\circ} \).

Угол SAB также равен \( \angle MAB = 42^{\circ} \), так как точки M и S лежат на одной прямой, исходящей из A.

В прямоугольном треугольнике ASB:

\( \angle SBA + \angle SAB = 90^{\circ} \)

\( \angle SBA + 42^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle SBA = 90^{\circ} - 42^{\circ} = 48^{\circ} \). Это совпадает с условием \( \angle NBA = 48^{\circ} \), где N — точка на AB, но по смыслу задачи NBA это угол MBA.

Теперь рассмотрим треугольник SMB. Мы знаем \( \angle MBS = 48^{\circ} \).

Угол SMA опирается на дугу SA. Угол SBA опирается на дугу SA.

\( \angle SMA = \angle SBA = 48^{\circ} \).

Ответ: 48