5. Какой должна быть длина волны ультрафиолетового света, падающего на поверхность цинка, чтобы скорость вылетающих фотоэлектронов составляла 1000 км/с. Работа выхода равна 6,9\(\cdot 10^{-19}\) Дж.

Решение:

Используем уравнение фотоэффекта: \( \frac{mv^2}{2} = \frac{hc}{\lambda} - A \).

Чтобы найти длину волны \( \lambda \), преобразуем уравнение:

\( \frac{hc}{\lambda} = \frac{mv^2}{2} + A \)

\( \lambda = \frac{hc}{\frac{mv^2}{2} + A} \)

где:

• \( m \) — масса электрона, \( m \approx 9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг} \);
• \( v \) — скорость фотоэлектрона, \( v = 1000 \text{ км/с} = 1000 \cdot 10^3 \text{ м/с} = 10^6 \text{ м/с} \);
• \( h \) — постоянная Планка, \( h \approx 6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с} \);
• \( c \) — скорость света, \( c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с} \);
• \( A \) — работа выхода, \( A = 6,9 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \).

Рассчитаем кинетическую энергию \( \frac{mv^2}{2} \):

\( \frac{mv^2}{2} = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31} \text{ кг}) \cdot (10^6 \text{ м/с})^2}{2} = \frac{(9,11 \cdot 10^{-31}) \cdot (10^{12})}{2} \text{ Дж} = \frac{9,11 \cdot 10^{-19}}{2} \text{ Дж} = 4,555 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \)

Суммируем кинетическую энергию и работу выхода:

\( \frac{mv^2}{2} + A = (4,555 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}) + (6,9 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}) = 11,455 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \)

Теперь найдём длину волны:

\( \lambda = \frac{(6,63 \cdot 10^{-34} \text{ Дж} \cdot \text{с}) \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})}{11,455 \cdot 10^{-19} \text{ Дж}} \)

\( \lambda = \frac{19,89 \cdot 10^{-26}}{11,455 \cdot 10^{-19}} \text{ м} \approx 1,736 \cdot 10^{-7} \text{ м} \)

Переведём в нанометры:

\( \lambda \approx 1,736 \cdot 10^{-7} \text{ м} = 173,6 \text{ нм} \)

Ответ: Длина волны ультрафиолетового света должна быть около 173,6 нм.