5. К конденсатору, электрическая ёмкость которого C = 16 пФ, подключают два одинаковых конденсатора ёмкостью X: один параллельно, а второй последовательно (см. рисунок). Ёмкость образовавшейся батареи конденсаторов равна ёмкости C. Какова ёмкость X?

Решение:

• Параллельное соединение: Конденсатор $$C$$ и конденсатор $$X$$, соединенные параллельно, дают ёмкость $$C_{пар} = C + X$$.
• Последовательное соединение: Конденсатор $$C$$ и конденсатор $$X$$, соединенные последовательно, дают ёмкость $$C_{после} = (C \times X) / (C + X)$$.
• Общая ёмкость: В схеме один конденсатор X подключен параллельно к батарее из C и X, соединенных последовательно. Таким образом, эквивалентная ёмкость $$C_{общ}$$ равна сумме ёмкости $$C$$ и $$C_{после}$$ (потому что $$C$$ и $$X$$, соединенные последовательно, находятся параллельно к $$C$$). Нет, схема предполагает, что один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$, а другой конденсатор $$X$$ подключен последовательно к $$C$$. На рисунке показано, что один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$, а второй конденсатор $$X$$ подключен последовательно к $$C$$. Но здесь они подключены не к одному конденсатору $$C$$, а к батарее. По рисунку: $$C$$ подключен параллельно к $$X$$. И эта комбинация $$C||X$$ подключена последовательно к другому $$X$$.
• По рисунку: Один конденсатор $$X$$ подключен параллельно к $$C$$. Эта комбинация $$C+X$$ подключена последовательно к другому конденсатору $$X$$. Общая ёмкость $$C_{общ} = \frac{(C+X) \times X}{(C+X)+X} = \frac{CX+X^2}{C+2X}$$.
• По условию $$C_{общ} = C$$.
• Подставляем $$C = 16$$ пФ: $$16 = \frac{16X + X^2}{16 + 2X}$$.
• $$16(16 + 2X) = 16X + X^2$$.
• $$256 + 32X = 16X + X^2$$.
• $$X^2 - 16X - 256 = 0$$.
• Решаем квадратное уравнение: $$X = \frac{-b
  eq \text{sqrt}(b^2 - 4ac)}{2a}$$.
• $$X = \frac{16
  eq \text{sqrt}((-16)^2 - 4 \times 1 \times (-256))}{2 \times 1}$$.
• $$X = \frac{16
  eq \text{sqrt}(256 + 1024)}{2}$$.
• $$X = \frac{16
  eq \text{sqrt}(1280)}{2}$$.
• $$X = \frac{16
  eq 16 \text{sqrt}(5)}{2}$$.
• $$X = 8
  eq 8 \text{sqrt}(5)$$.
• Так как ёмкость не может быть отрицательной, выбираем положительное значение.
• $$X = 8 + 8 \text{sqrt}(5) \text{ пФ} \text{ (приблизительно } 8 + 8 \times 2.236 = 8 + 17.888 = 25.888 \text{ пФ)}$$.

Ответ: $$8 + 8\text{sqrt}(5)$$ пФ