5. Из двух станций, расстояние между которыми 450 км, выехали одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 5 часов. Найдите скорость каждого поезда, если один из них потратил на путь между станциями на 2 ч 15 мин больше, чем другой.

Решение:

Пусть \( v_1 \) — скорость первого поезда (в км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго поезда (в км/ч).

Расстояние между станциями — 450 км.

Время в пути до встречи для обоих поездов — 5 часов.

Когда поезда движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Суммарная скорость равна расстоянию, деленному на время:

\[ v_1 + v_2 = \frac{450 \text{ км}}{5 \text{ ч}} = 90 \text{ км/ч} \]

Теперь рассмотрим условие о времени в пути между станциями. Пусть \( t_1 \) — время, которое потратил первый поезд на весь путь, а \( t_2 \) — время, которое потратил второй поезд.

Из условия, один поезд потратил на путь больше другого на 2 часа 15 минут. Переведём 15 минут в часы: \( 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0.25 \text{ ч} \). Таким образом, разница во времени составляет 2.25 часа.

Пусть \( t_1 = t_2 + 2.25 \).

Расстояние равно скорость, умноженная на время:

\[ 450 = v_1 t_1 \]

\[ 450 = v_2 t_2 \]

Из этих уравнений выразим скорости:

\[ v_1 = \frac{450}{t_1} \]

\[ v_2 = \frac{450}{t_2} \]

Подставим \( t_1 = t_2 + 2.25 \) в выражение для \( v_1 \):

\[ v_1 = \frac{450}{t_2 + 2.25} \]

Теперь подставим выражения для \( v_1 \) и \( v_2 \) в уравнение суммарной скорости \( v_1 + v_2 = 90 \):

\[ \frac{450}{t_2 + 2.25} + \frac{450}{t_2} = 90 \]

Разделим всё уравнение на 90, чтобы упростить:

\[ \frac{5}{t_2 + 2.25} + \frac{5}{t_2} = 1 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{5t_2 + 5(t_2 + 2.25)}{(t_2 + 2.25)t_2} = 1 \]

\[ 5t_2 + 5t_2 + 11.25 = t_2^2 + 2.25t_2 \]

\[ 10t_2 + 11.25 = t_2^2 + 2.25t_2 \]

Перенесём всё в одну часть и приведём квадратное уравнение:

\[ t_2^2 + 2.25t_2 - 10t_2 - 11.25 = 0 \]

\[ t_2^2 - 7.75t_2 - 11.25 = 0 \]

Умножим на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

\[ 4t_2^2 - 31t_2 - 45 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение относительно \( t_2 \):

\[ D = (-31)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-45) = 961 + 720 = 1681 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \]

Найдем значения \( t_2 \):

\[ t_{2,1} = \frac{31 + 41}{2 \cdot 4} = \frac{72}{8} = 9 \text{ ч} \]

\[ t_{2,2} = \frac{31 - 41}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -1.25 \text{ ч} \]

Время не может быть отрицательным, поэтому \( t_2 = 9 \text{ ч} \).

Теперь найдем \( t_1 \):

\[ t_1 = t_2 + 2.25 = 9 + 2.25 = 11.25 \text{ ч} \]

Найдем скорости поездов:

\[ v_1 = \frac{450}{t_1} = \frac{450}{11.25} = 40 \text{ км/ч} \]

\[ v_2 = \frac{450}{t_2} = \frac{450}{9} = 50 \text{ км/ч} \]

Проверим, что \( v_1 + v_2 = 90 \): \( 40 + 50 = 90 \). Условие выполнено.

Ответ: скорости поездов 40 км/ч и 50 км/ч.