4. Решите систему уравнений \( \begin{cases} x^2 + 2y = 33 \\ x - y = 1 \end{cases} \)

Решение:

Из второго уравнения выразим \( x \): \( x = y + 1 \).

Подставим это выражение в первое уравнение:

\[ (y+1)^2 + 2y = 33 \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 + 2y + 1 + 2y = 33 \]

Приведём подобные слагаемые и перенесём всё в одну часть:

\[ y^2 + 4y + 1 - 33 = 0 \]

\[ y^2 + 4y - 32 = 0 \]

Решим полученное квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{144} = 12 \]

Найдем значения \( y \):

\[ y_1 = \frac{-4 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ y_2 = \frac{-4 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-16}{2} = -8 \]

Теперь найдем соответствующие значения \( x \), используя уравнение \( x = y + 1 \):

Если \( y_1 = 4 \), то \( x_1 = 4 + 1 = 5 \).

Если \( y_2 = -8 \), то \( x_2 = -8 + 1 = -7 \).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: \( (5, 4) \), \( (-7, -8) \).