5) \(\frac{\sqrt[9]{7} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[6]{7}}\)

Решение:

1. Приведём корни к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 9, 18 и 6 равно 18.
2. Перепишем выражения с общим показателем степени:
• \( \sqrt[9]{7} = \sqrt[18]{7^2} \)
• \( \sqrt[18]{7} \)
• \( \sqrt[6]{7} = \sqrt[18]{7^3} \)
3. Подставим в дробь: \( \frac{\sqrt[18]{7^2} \cdot \sqrt[18]{7}}{\sqrt[18]{7^3}} \).
4. Используем свойства корней \( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \) и \( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \): \( \sqrt[18]{\frac{7^2 \cdot 7}{7^3}} = \sqrt[18]{\frac{7^3}{7^3}} = \sqrt[18]{1} \).

Ответ: 1