5. Для какой из функций \( f(x) = 4x^3 - 8x + 1, g(x) = 4(x^3 - 2) \) и \( q(x) = 4x(x^2 - 2) \) функция \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \) является первообразной?

Решение:

Чтобы определить, какая из функций является первообразной для \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \), нужно продифференцировать каждую из предложенных функций и сравнить результат с \( F(x) \).

1. Проверим функцию \( f(x) = 4x^3 - 8x + 1 \):

Найдем производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 - 8x + 1) = 12x^2 - 8 \]

Это не равно \( F(x) \).

2. Проверим функцию \( g(x) = 4(x^3 - 2) \):

Сначала раскроем скобки: \( g(x) = 4x^3 - 8 \).

Найдем производную \( g'(x) \):

\[ g'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 - 8) = 12x^2 \]

Это не равно \( F(x) \).

3. Проверим функцию \( q(x) = 4x(x^2 - 2) \):

Раскроем скобки: \( q(x) = 4x^3 - 8x \).

Найдем производную \( q'(x) \):

\[ q'(x) = \frac{d}{dx} (4x^3 - 8x) = 12x^2 - 8 \]

Это не равно \( F(x) \).

Перепроверим условие. Возможно, в условии была ошибка, или же имеется в виду, что одна из функций является производной от другой.

Если \( F(x) \) - это производная от одной из функций:

Рассмотрим \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \). Найдем первообразную для \( F(x) \).

\[ \int (x^4 - 4x^2 + 1) dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - 4\frac{x^{2+1}}{2+1} + \frac{x^{0+1}}{0+1} + C \]

\[ = \frac{x^5}{5} - 4\frac{x^3}{3} + x + C \]

Эта формула не совпадает ни с одной из предложенных функций. Скорее всего, в условии имеется в виду, что одна из функций \( f(x), g(x), q(x) \) является первообразной для \( F(x) \), а не наоборот. Но тогда \( F(x) \) должна быть производной от \( f(x), g(x) \) или \( q(x) \).

Предположим, что вопрос задачи звучит так: для какой из функций \( f(x) = 4x^3 - 8x + 1, g(x) = 4(x^3 - 2), q(x) = 4x(x^2 - 2) \) функция \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \) является производной?

Мы уже нашли производные для \( f(x) \), \( g(x) \), \( q(x) \):

• \( f'(x) = 12x^2 - 8 \)
• \( g'(x) = 12x^2 \)
• \( q'(x) = 12x^2 - 8 \)

Ни одна из этих производных не равна \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \).

Рассмотрим обратную задачу: является ли \( F(x) \) первообразной для одной из предложенных функций. Это значит, что \( F'(x) \) должно быть равно одной из \( f(x), g(x), q(x) \).

\[ F'(x) = \frac{d}{dx} (x^4 - 4x^2 + 1) = 4x^3 - 8x \]

Сравним \( F'(x) \) с предложенными функциями:

• \( f(x) = 4x^3 - 8x + 1 \) (не совпадает из-за \( +1 \)).
• \( g(x) = 4(x^3 - 2) = 4x^3 - 8 \) (не совпадает).
• \( q(x) = 4x(x^2 - 2) = 4x^3 - 8x \) (совпадает).

Следовательно, \( F(x) \) является первообразной для \( q(x) \).

Ответ: функция \( F(x) = x^4 - 4x^2 + 1 \) является первообразной для \( q(x) = 4x(x^2 - 2) \).