1. Решите неравенство \(\frac{x^2 + 10x}{2 - 5x} < 0\).

Решение:

Для решения неравенства \(\frac{x^2 + 10x}{2 - 5x} < 0\) найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( x^2 + 10x = 0 \implies x(x + 10) = 0 \implies x_1 = 0 \) или \( x_2 = -10 \).
2. Корень знаменателя: \( 2 - 5x = 0 \implies 5x = 2 \implies x_3 = \frac{2}{5} \).
3. Разместим корни на числовой прямой: \( -10, 0, \frac{2}{5} \).
4. Определим знаки выражения в интервалах:
   • При \( x < -10 \) (например, \( x = -11 \)): \( \frac{(-11)^2 + 10(-11)}{2 - 5(-11)} = \frac{121 - 110}{2 + 55} = \frac{11}{57} > 0 \).
   • При \( -10 < x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( \frac{(-1)^2 + 10(-1)}{2 - 5(-1)} = \frac{1 - 10}{2 + 5} = \frac{-9}{7} < 0 \).
   • При \( 0 < x < \frac{2}{5} \) (например, \( x = 0.1 \)): \( \frac{(0.1)^2 + 10(0.1)}{2 - 5(0.1)} = \frac{0.01 + 1}{2 - 0.5} = \frac{1.01}{1.5} > 0 \).
   • При \( x > \frac{2}{5} \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{1^2 + 10(1)}{2 - 5(1)} = \frac{1 + 10}{2 - 5} = \frac{11}{-3} < 0 \).

Так как нам нужно \( < 0 \), выбираем интервалы \( (-10, 0) \) и \( (\frac{2}{5}, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-10; 0) \cup (\frac{2}{5}; +\infty) \).