4. Функция y = f(x) задана своим графиком (рис. 20). Укажите: а) область определения функции; б) при каких значениях x f'(x)>0, f'(x)<0; в) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс; г) при каких значениях x f(x) ≥ 2; д) наибольшее и наименьшее значения функции.

Решение:

Анализируем график функции \( y = f(x) \).

а) Область определения функции:

По графику видно, что функция определена для \( x \) от -2 до 4. Точки -2 и 4 включены.

Ответ: \( D(f) = [-2; 4] \).

б) При каких значениях x f'(x)>0, f'(x)<0:

Производная \( f'(x) \) положительна там, где функция возрастает, и отрицательна там, где она убывает.

• Функция возрастает ( \( f'(x) > 0 \) ) на интервале \( (-2; 0) \).
• Функция убывает ( \( f'(x) < 0 \) ) на интервале \( (0; 4) \).

Ответ: \( f'(x) > 0 \) при \( x \in (-2; 0) \); \( f'(x) < 0 \) при \( x \in (0; 4) \).

в) В каких точках графика касательные к нему параллельны оси абсцисс:

Касательные параллельны оси абсцисс в точках экстремума, где \( f'(x) = 0 \). Это точки максимума и минимума.

По графику видно, что таких точек две: одна в \( x = 0 \) (максимум) и другая, где \( x \) примерно равен \( 3 \) (минимум).

Найдём точное значение \( x \) для минимума, если возможно, или укажем приблизительно.

Из графика видно, что функция достигает локального максимума при \( x=0 \). Также есть локальный минимум. Предположим, что график симметричен относительно оси \( y \) на отрезке \( [0; 2] \), и точки, где \( f'(x)=0 \) — это \( x=0 \) и \( x=3 \).

Ответ: в точках \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

г) При каких значениях x f(x) ≥ 2:

Ищем значения \( x \), для которых \( y \ge 2 \). По графику видно, что \( y \) достигает максимума при \( x = 0 \), и это значение равно 2.

Ответ: \( x = 0 \).

д) Наибольшее и наименьшее значения функции:

Наибольшее значение функции — это максимальная ордината на графике. Наименьшее значение — минимальная ордината.

• Наибольшее значение: \( y_{max} = 2 \) (при \( x=0 \)).
• Наименьшее значение: \( y_{min} \) достигается при \( x ≈ 3 \) и равно примерно \( -1.5 \).

Ответ: наибольшее значение равно 2, наименьшее значение приблизительно -1.5.