5. Для функции f(x) = 6х - х² найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку Р(1; 4).

5. Нахождение первообразной

1. Находим общую первообразную функции f(x) = 6x - x²:
   По правилам интегрирования:
   \[ F(x) = \int (6x - x^2) dx \]
   \[ F(x) = 6 \int x dx - \int x^2 dx \]
   \[ F(x) = 6 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} + C \]
   \[ F(x) = 3x^2 - \frac{x^3}{3} + C \], где \( C \) — константа интегрирования.
2. Используем условие, что график проходит через точку P(1; 4), чтобы найти значение \( C \>:
   Подставляем \( x=1 \) и \( F(x)=4 \) в уравнение первообразной:
   \[ 4 = 3(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} + C \]
   \[ 4 = 3 - \frac{1}{3} + C \]
   \[ 4 = \frac{9}{3} - \frac{1}{3} + C \]
   \[ 4 = \frac{8}{3} + C \]
   \[ C = 4 - \frac{8}{3} \]
   \[ C = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} \]
   \[ C = \frac{4}{3} \]
3. Записываем частную первообразную:
   Подставляем найденное значение \( C \) в общее выражение для \( F(x) \>:
   \[ F(x) = 3x^2 - \frac{x^3}{3} + \frac{4}{3} \]

Ответ: F(x) = 3x² - x³/3 + 4/3.