3. Исследовать функцию на монотонность и экстремум: f(x) = 3 + 2x - x²

3. Исследование функции f(x) = 3 + 2x - x²

1. Находим производную функции:
   \[ f'(x) = (3 + 2x - x^2)' = 2 - 2x \]
2. Находим критические точки (где производная равна нулю или не существует):
   \[ 2 - 2x = 0 \]
   \[ 2x = 2 \]
   \[ x = 1 \]
3. Определяем интервалы монотонности, используя знак производной:
   
   • Если \( x < 1 \), например \( x=0 \): \( f'(0) = 2 - 2(0) = 2 > 0 \). Функция возрастает.
   • Если \( x > 1 \), например \( x=2 \): \( f'(2) = 2 - 2(2) = 2 - 4 = -2 < 0 \). Функция убывает.
4. Находим экстремум:
   В точке \( x = 1 \) производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, это точка максимума.
   \[ f(1) = 3 + 2(1) - (1)^2 = 3 + 2 - 1 = 4 \]

Вывод:
Функция возрастает на интервале \( (-\infty; 1) \) и убывает на интервале \( (1; +\infty) \).
В точке \( x=1 \) функция имеет максимум, равный 4.

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; 1) \), убывает на \( (1; +\infty) \). Максимум в точке \( x=1 \), \( f(1)=4 \).