5. Диагональ АС ромба ABCD равна 8, а tg ∠BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда AO = OC = 8/2 = 4. В прямоугольном треугольнике BOC, tg ∠BCA = OB/OC. Следовательно, OB = OC * tg ∠BCA = 4 * 0.75 = 3. Диагональ BD = 2 * OB = 2 * 3 = 6. Площадь ромба S = (AC * BD)/2 = (8 * 6)/2 = 24. Радиус вписанной окружности r = (2S)/P, где P - периметр ромба. Сторона ромба AB = √(AO² + OB²) = √(4² + 3²) = √25 = 5. Периметр P = 4 * 5 = 20. Радиус r = (2 * 24)/20 = 48/20 = 2.4.