№5. Через точку В, лежащую между параллельными плоскостями а и в, проведены прямые т и п. Прямая т пересекает плоскости а и в в точках К1, К2, а прямая п - в точках P1, P2 соответственно. Вычислите длину отрезка K1K2, если известно, что BK1 = 8 см и K1P1 : K2P2 = 2:5.

Решение:

Дано: Плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) параллельны. Точка B лежит между \( \alpha \) и \( \beta \). Прямая \( t \) пересекает \( \alpha \) в точке K₁, \( \beta \) в точке K₂. Прямая \( n \) пересекает \( \alpha \) в точке P₁, \( \beta \) в точке P₂. BK₁ = 8 см. K₁P₁ : K₂P₂ = 2:5.

Найти: K₁K₂.

Решение:

1. Так как плоскости \( \alpha \) и \( \beta \) параллельны, прямые K₁K₂ и P₁P₂, проходящие через них, образуют подобные треугольники с вершиной в точке B.
2. Рассмотрим \(\triangle BK₁P₁\) и \(\triangle BK₂P₂\). Эти треугольники подобны по двум углам (вертикальные углы при B равны, углы при пересечении секущих с параллельными плоскостями равны как накрест лежащие или соответственные).
3. Из подобия треугольников следует отношение их сторон: \( \frac{BK₁}{BK₂} = \frac{BP₁}{BP₂} = \frac{K₁P₁}{K₂P₂} \).
4. Нам дано, что \( BK₁ = 8 \) см и \( K₁P₁ : K₂P₂ = 2:5 \).
5. Из отношения сторон имеем: \( \frac{BK₁}{BK₂} = \frac{K₁P₁}{K₂P₂} = \frac{2}{5} \).
6. Подставим значение BK₁: \( \frac{8}{BK₂} = \frac{2}{5} \).
7. Найдем BK₂: \( BK₂ = \frac{8 \cdot 5}{2} = 20 \) см.
8. Длина отрезка K₁K₂ равна разности длин отрезков BK₂ и BK₁: \( K₁K₂ = BK₂ - BK₁ = 20 \text{ см} - 8 \text{ см} = 12 \text{ см} \).

Ответ: K₁K₂ = 12 см.