№3. Плоскость а проходит через сторону АС треугольника АВС. Точки Д и Е - середины сторон АВ и ВС соответственно. Докажите, что прямая DE параллельна плоскости а.

Решение:

Дано: Плоскость \( \alpha \) проходит через сторону AC \(\triangle ABC\). Точки D и E — середины сторон AB и BC соответственно.

Доказать: DE \( \parallel \alpha \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \(\triangle ABC\). По условию D и E — середины сторон AB и BC.
2. По теореме о средней линии треугольника, отрезок DE, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине ее длины. Следовательно, DE \( \parallel \) AC.
3. Так как прямая DE параллельна прямой AC, а прямая AC лежит в плоскости \( \alpha \), то по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая DE параллельна плоскости \( \alpha \).

Что и требовалось доказать.