№4. Плоскость а пересекает стороны МР и РК треугольника МРК в точках Х и У соответственно. Прямая МК параллельна плоскости а. Найдите длину отрезка XY, если МХ: ХР = 3:5 и МК = 12 см.

Решение:

Дано: Плоскость \( \alpha \) пересекает стороны MP и PK \(\triangle MPK\) в точках X и Y соответственно. MK \( \parallel \alpha \). MX:XP = 3:5. MK = 12 см.

Найти: XY.

Решение:

1. Рассмотрим \(\triangle MPK\). По условию прямая MK параллельна плоскости \( \alpha \).
2. Плоскость \( \alpha \) пересекает стороны MP и PK в точках X и Y.
3. По теореме Фалеса (или свойству подобных треугольников, так как \(\triangle MXY \sim \triangle MPK\)), отношение отрезков на сторонах равно отношению сторон: \( \frac{MX}{MP} = \frac{XY}{MK} \).
4. Найдем отношение MX к MP: \( MX : XP = 3:5 \), значит, MP = MX + XP. Пусть MX = 3k, тогда XP = 5k, и MP = 3k + 5k = 8k.
5. Следовательно, \( \frac{MX}{MP} = \frac{3k}{8k} = \frac{3}{8} \).
6. Теперь найдем длину отрезка XY: \( \frac{XY}{MK} = \frac{3}{8} \) \( \Rightarrow \) \( XY = \frac{3}{8} \cdot MK \).
7. Подставим значение MK: \( XY = \frac{3}{8} \cdot 12 \text{ см} = \frac{36}{8} \text{ см} = 4.5 \text{ см} \).

Ответ: XY = 4.5 см.