5. AB – общая касательная к двум касающимся окружностям радиусами 9 см и 16 см, А и В – точки касания (рис. 4). Найдите длину отрезка AB.

Решение:

Пусть радиусы окружностей равны r1 = 9 см и r2 = 16 см.

Пусть O1 и O2 — центры окружностей.

Проведем радиусы O1A и O2B. Так как AB — касательная, то O1A ⊥ AB и O2B ⊥ AB.

O1A = 9 см, O2B = 16 см.

Расстояние между центрами O1O2 = r1 + r2 = 9 + 16 = 25 см (так как окружности касаются внешне).

Проведем через центр O1 прямую, параллельную AB, до пересечения с радиусом O2B в точке C.

Получится прямоугольник ACO1B. Тогда AC = O1B и AB = O1C.

BC = O2B - O2C. Так как ACO1B — прямоугольник, то O1A = CB = 9 см.

BC = 16 - 9 = 7 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник O1CO2.

По теореме Пифагора: O1C² + BC² = O1O2²

O1C² + 7² = 25²

O1C² + 49 = 625

O1C² = 625 - 49 = 576

O1C = √576 = 24 см.

Так как AB = O1C, то AB = 24 см.

Ответ: AB = 24 см