5.5. Вероятность того, что перегорит первая лампочка, равна 0,1. Вероятность того, что перегорит вторая лампочка, равна 0,05. Какова вероятность того, что хотя бы одна лампочка не перегорит?

Решение:

Пусть событие A - "перегорит первая лампочка". P(A) = 0,1.

Пусть событие B - "перегорит вторая лампочка". P(B) = 0,05.

Предположим, что перегорание лампочек - независимые события.

Найдем вероятности того, что каждая лампочка НЕ перегорит:

Вероятность того, что первая лампочка НЕ перегорит: P(не A) = 1 - P(A) = 1 - 0,1 = 0,9.

Вероятность того, что вторая лампочка НЕ перегорит: P(не B) = 1 - P(B) = 1 - 0,05 = 0,95.

Событие "хотя бы одна лампочка не перегорит" является противоположным к событию "обе лампочки перегорят".

Найдем вероятность того, что обе лампочки перегорят (событие A и B):

P(A и B) = P(A) * P(B) = 0,1 * 0,05 = 0,005 (так как события независимы).

Теперь найдем вероятность того, что хотя бы одна лампочка не перегорит, как вероятность противоположного события:

P(хотя бы одна не перегорит) = 1 - P(обе перегорят) = 1 - 0,005 = 0,995.

Альтернативный способ:

Событие "хотя бы одна лампочка не перегорит" включает в себя следующие непересекающиеся случаи:

• Первая не перегорела, вторая перегорела: P(не A) * P(B) = 0,9 * 0,05 = 0,045.
• Первая перегорела, вторая не перегорела: P(A) * P(не B) = 0,1 * 0,95 = 0,095.
• Ни одна не перегорела: P(не A) * P(не B) = 0,9 * 0,95 = 0,855.

Сумма этих вероятностей: 0,045 + 0,095 + 0,855 = 0,995.

Ответ: 0,995.