5. (1 балл) Зная, что 0<α<\(\frac{\pi}{2}\), найдите sina, если cosa = \(\frac{1}{4}\)

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Подставим известное значение \( \cos\alpha \):

\( \sin^2\alpha + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 1 \)

\( \sin^2\alpha + \frac{1}{16} = 1 \)

\( \sin^2\alpha = 1 - \frac{1}{16} \)

\( \sin^2\alpha = \frac{16 - 1}{16} \)

\( \sin^2\alpha = \frac{15}{16} \)

Так как \( 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} \) (первая четверть), то \( \sin\alpha \) положительный. Извлекаем квадратный корень:

\( \sin\alpha = \sqrt{\frac{15}{16}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Ответ: \(\frac{\sqrt{15}}{4}\).