4 Всего в группе туристов 21 человек, в том числе Женя и Саша. Группу случайным образом делят на три подгруппы по 7 человек для посадки в три микроавтобуса. Какова вероятность того, что Женя и Саша случайно окажутся в одном микроавтобусе? Ответ:

Решение:

Общее количество способов выбрать 2 человека из 21 равно \( C_{21}^2 = \frac{21 \times 20}{2} = 210 \).

Чтобы Женя и Саша оказались в одном микроавтобусе, сначала нужно выбрать микроавтобус. Есть 3 варианта.

Если Женя и Саша уже в одном микроавтобусе, то осталось выбрать еще 5 человек из оставшихся 19 для этого микроавтобуса. Количество способов выбрать этих 5 человек равно \( C_{19}^5 = \frac{19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 11628 \).

Количество благоприятных исходов (Женя и Саша в одном микроавтобусе) равно \( 3 \times C_{19}^5 = 3 \times 11628 = 34884 \).

Общее количество способов выбрать 3 подгруппы по 7 человек из 21:

\( C_{21}^7 \times C_{14}^7 \times C_7^7 = \frac{21!}{7!14!} \times \frac{14!}{7!7!} \times \frac{7!}{7!0!} = \frac{21!}{7!7!7!} \)

Сначала определим, сколько всего пар человек можно составить. Всего туристов 21. Количество пар равно \( C_{21}^2 = \frac{21 \times 20}{2} = 210 \).

Рассмотрим положение Жени. Она может оказаться в любом из 3 микроавтобусов. Теперь рассмотрим положение Саши. В микроавтобусе Жени осталось 6 мест. Всего свободных мест во всех микроавтобусах \( 3 \times 7 - 1 = 20 \).

Вероятность того, что Саша окажется в том же микроавтобусе, что и Женя, равна \( \frac{6}{20} = \frac{3}{10} \).

Ответ: \( \frac{3}{10} \).