497. Середина отрезка АВ лежит в плоскости Оху. Найдите к, если: а) А (2; 3; -1), B (5; 7; k); б) A (0; 4; k), B(3; -8; 2); в) А (5; 3; k), B (3; -5; 3k).

Решение:

Плоскость Oxy задается уравнением \(z = 0\). Если середина отрезка лежит в этой плоскости, то ее z-координата равна 0.

Пусть середина отрезка AB — точка M. Координаты середины отрезка находятся по формуле: \(M = (\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2})\).

1. а) А (2; 3; -1), B (5; 7; k)
   • \(M_z = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{-1 + k}{2}\)
   • Так как \(M_z = 0\), то \(rac{-1 + k}{2} = 0\)
   • \(-1 + k = 0\)
   • \(k = 1\)
2. б) A (0; 4; k), B(3; -8; 2)
   • \(M_z = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{k + 2}{2}\)
   • Так как \(M_z = 0\), то \(rac{k + 2}{2} = 0\)
   • \(k + 2 = 0\)
   • \(k = -2\)
3. в) А (5; 3; k), B (3; -5; 3k)
   • \(M_z = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{k + 3k}{2} = \frac{4k}{2} = 2k\)
   • Так как \(M_z = 0\), то \(2k = 0\)
   • \(k = 0\)

Ответ: а) k = 1; б) k = -2; в) k = 0