492. Даны точки А (-5; 7; 3) и В (3; -11; 1). а) На оси Ох найдите точку, ближайшую к середине отрезка АВ. б) Найдите точки, обладающие аналогичным свойством, на осях Оу и Oz.

Решение:

1. Найдем координаты середины отрезка AB (M):
   • \(M_x = \frac{-5 + 3}{2} = -1\)
   • \(M_y = \frac{7 + (-11)}{2} = -2\)
   • \(M_z = \frac{3 + 1}{2} = 2\)

   Итак, середина отрезка AB имеет координаты M(-1; -2; 2).

2. а) Точка на оси Ox:
   • Точка на оси Ox имеет координаты (x; 0; 0).
   • Найдем расстояние от M до точки на оси Ox: \(d = \sqrt{(x - (-1))^2 + (0 - (-2))^2 + (0 - 2)^2}\)
   • \(d = \sqrt{(x + 1)^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{(x + 1)^2 + 4 + 4} = \sqrt{(x + 1)^2 + 8}\)
   • Чтобы расстояние было минимальным, выражение под корнем должно быть минимальным. Это происходит, когда \((x + 1)^2 = 0\), то есть \(x = -1\).
   • Точка на оси Ox: (-1; 0; 0).
3. б) Точки на осях Oy и Oz:
   • На оси Oy: Точка имеет координаты (0; y; 0).
   • \(d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (y - (-2))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + (y + 2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + (y + 2)^2 + 4} = \sqrt{(y + 2)^2 + 5}\)
   • Минимальное значение, когда \((y + 2)^2 = 0\), то есть \(y = -2\).
   • Точка на оси Oy: (0; -2; 0).
   • На оси Oz: Точка имеет координаты (0; 0; z).
   • \(d = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (0 - (-2))^2 + (z - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (z - 2)^2} = \sqrt{1 + 4 + (z - 2)^2} = \sqrt{(z - 2)^2 + 5}\)
   • Минимальное значение, когда \((z - 2)^2 = 0\), то есть \(z = 2\).
   • Точка на оси Oz: (0; 0; 2).

Ответ: а) (-1; 0; 0); б) (0; -2; 0) и (0; 0; 2)