496. Даны координаты четырех вершин параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁: A (3; 0; 2), B (2; 4; 5), A₁ (5; 3; 1), D (7; 1; 2). Найдите координаты остальных вершин.

Решение:

В параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) справедливы следующие векторные равенства:

• \(\vec{AB} = \vec{D C}\)
• \(\vec{AD} = \vec{B C}\)
• \(\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1} = \vec{DD_1}\)
• \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1} = \vec{AC_1}\)
• \(\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}\) (для плоскости основания)
• \(\vec{A_1} + \vec{C_1} = \vec{B_1} + \vec{D_1}\) (для верхнего основания)
• \(\vec{A} + \vec{C_1} = \vec{A_1} + \vec{C}\)

Из \(\vec{AB} = \vec{DC}\) => \(B - A = C - D\) => \(C = B - A + D\)

\(C = \{2; 4; 5\} - \{3; 0; 2\} + \{7; 1; 2\} = \{2 - 3 + 7; 4 - 0 + 1; 5 - 2 + 2\} = \{6; 5; 5\}

Из \(\vec{AD} = \vec{BC}\) => \(D - A = C - B\) => \(C = D - A + B\) (проверка)

\(C = \{7; 1; 2\} - \{3; 0; 2\} + \{2; 4; 5\} = \{7 - 3 + 2; 1 - 0 + 4; 2 - 2 + 5\} = \{6; 5; 5\}

Из \(\vec{AA_1} = \vec{DD_1}\) => \(A_1 - A = D_1 - D\) => \(D_1 = A_1 - A + D\)

\(D_1 = \{5; 3; 1\} - \{3; 0; 2\} + \{7; 1; 2\} = \{5 - 3 + 7; 3 - 0 + 1; 1 - 2 + 2\} = \{9; 4; 1\}

Из \(\vec{AA_1} = \vec{BB_1}\) => \(A_1 - A = B_1 - B\) => \(B_1 = A_1 - A + B\)

\(B_1 = \{5; 3; 1\} - \{3; 0; 2\} + \{2; 4; 5\} = \{5 - 3 + 2; 3 - 0 + 4; 1 - 2 + 5\} = \{4; 7; 4\}

Из \(\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\) => \(C_1 = A + (B-A) + (D-A) + (A_1-A)\) => \(C_1 = B + D + A_1 - 2A\)

\(C_1 = \{2; 4; 5\} + \{7; 1; 2\} + \{5; 3; 1\} - 2\cdot\{3; 0; 2\} \) (неверная формула)

Правильно: \(C_1 = A + v\vec{AB} + v\vec{AD} + v\vec{AA_1}\) => \(C_1 = A + (B - A) + (D - A) + (A_1 - A)\) => \(C_1 = B + D + A_1 - 2A\) (тоже не то)

Используем \(C_1 = A + v\vec{AC}\) => \(C_1 = A + (B-A) + (D-A) + (A_1-A) \)

\(C_1 = B + D + A_1 - 2A\) - это верно только для случая, когда A=0.

Правильно: \(\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\). Координата \(C_1\) будет \(C_1 = A + \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\) — это неверно.

Вектор \(\vec{AC_1}\) равен сумме векторов, исходящих из \(A\): \(\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\).

\(C_1 - A = (B - A) + (D - A) + (A_1 - A)\) => \(C_1 = B + D + A_1 - 2A\) - это неверно.

Используем свойство, что \(\vec{A} + \vec{C_1} = \vec{B} + \vec{D_1}\) или \(\vec{A} + \vec{C_1} = \vec{A_1} + \vec{C}\).

Используем \(A + C_1 = B + D_1\) => \(C_1 = B + D_1 - A\)

\(C_1 = \{2; 4; 5\} + \{9; 4; 1\} - \{3; 0; 2\} = \{2 + 9 - 3; 4 + 4 - 0; 5 + 1 - 2\} = \{8; 8; 4\}

Проверим с помощью \(A_1 + C = B_1 + D_1\):

\(C_1 = A_1 + C - B_1\) => \(C_1 = \{5; 3; 1\} + \{6; 5; 5\} - \{4; 7; 4\} = \{5 + 6 - 4; 3 + 5 - 7; 1 + 5 - 4\} = \{7; 1; 2\}

Ошибка в формулах или расчетах.

Используем \(\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AA_1}\)

\(C_1 = A + (B-A) + (D-A) + (A_1-A)\)

\(C_1 = B + D + A_1 - 2A\) - это неверно.

\(\vec{AC_1} = \vec{AC} + \vec{AA_1}\) => \(C_1 = A + (C-A) + (A_1-A)\) => \(C_1 = C + A_1 - A\)

\(C_1 = \{6; 5; 5\} + \{5; 3; 1\} - \{3; 0; 2\} = \{6 + 5 - 3; 5 + 3 - 0; 5 + 1 - 2\} = \{8; 8; 4\}

Проверим \(B_1 = B + \vec{AA_1}\)

\(B_1 = \{2; 4; 5\} + (\{5; 3; 1\} - \{3; 0; 2\}) = \{2; 4; 5\} + \{2; 3; -1\} = \{4; 7; 4\}

Проверим \(D_1 = D + \vec{AA_1}\)

\(D_1 = \{7; 1; 2\} + \{2; 3; -1\} = \{9; 4; 1\}

Проверим \(C_1 = C + \vec{AA_1}\)

\(C_1 = \{6; 5; 5\} + \{2; 3; -1\} = \{8; 8; 4\}

Вершины:

• \(C = \{6; 5; 5\} \)
• \(B_1 = \{4; 7; 4\} \)
• \(C_1 = \{8; 8; 4\} \)
• \(D_1 = \{9; 4; 1\} \)

Ответ: C (6; 5; 5), B₁ (4; 7; 4), C₁ (8; 8; 4), D₁ (9; 4; 1)