4. Вычислите производную функции \( y = \sqrt{x - 2 + 2x^3} \)

Решение:

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть \( u = x - 2 + 2x^3 \). Тогда \( y = \sqrt{u} \).

Производная \( y' = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \).

Производная \( \sqrt{u} \) по \( u \) равна \( \frac{1}{2\sqrt{u}} \).

Производная \( u = x - 2 + 2x^3 \) по \( x \) равна \( u' = 1 - 0 + 2 \cdot 3x^2 = 1 + 6x^2 \).

Теперь подставим найденные значения:

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{x - 2 + 2x^3}} \cdot (1 + 6x^2) = \frac{1 + 6x^2}{2\sqrt{x - 2 + 2x^3}} \]

Ответ: \( \frac{1 + 6x^2}{2\sqrt{x - 2 + 2x^3}} \)