3. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = \frac{1}{3} x^3 + 2 \), осью ОХ и прямыми \( x = 0, x = 4 \).

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \), осью ОХ и прямыми \( x=a \) и \( x=b \), вычисляется по формуле:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]

В нашем случае \( f(x) = \frac{1}{3} x^3 + 2 \), \( a=0 \), \( b=4 \). На интервале \( [0, 4] \) функция \( f(x) \) положительна.

\[ S = \int_{0}^{4} \left( \frac{1}{3} x^3 + 2 \right) dx \]

Вычислим интеграл:

\[ S = \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{x^4}{4} + 2x \right]_{0}^{4} = \left[ \frac{x^4}{12} + 2x \right]_{0}^{4} \]

\[ S = \left( \frac{4^4}{12} + 2 \cdot 4 \right) - \left( \frac{0^4}{12} + 2 \cdot 0 \right) \]

\[ S = \frac{256}{12} + 8 = \frac{64}{3} + 8 = \frac{64 + 24}{3} = \frac{88}{3} \]

Ответ: \( \frac{88}{3} \)