4. Вычислите определенный интеграл: ∫₁² \( \left( \frac{1}{x^4} + 3x^2 + 1 \right) dx \).

Решение:

1. Найдём первообразную для функции \( f(x) = \frac{1}{x^4} + 3x^2 + 1 \).
2. Первообразная для \( \frac{1}{x^4} = x^{-4} \) равна \( \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3} \).
3. Первообразная для \( 3x^2 \) равна \( 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \frac{x^3}{3} = x^3 \).
4. Первообразная для \( 1 \) равна \( x \).
5. Таким образом, первообразная \( F(x) = -\frac{1}{3x^3} + x^3 + x \).
6. Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).
7. Вычислим \( F(2) \): \( F(2) = -\frac{1}{3(2)^3} + (2)^3 + 2 = -\frac{1}{3 \cdot 8} + 8 + 2 = -\frac{1}{24} + 10 \).
8. Вычислим \( F(1) \): \( F(1) = -\frac{1}{3(1)^3} + (1)^3 + 1 = -\frac{1}{3} + 1 + 1 = -\frac{1}{3} + 2 \).
9. Вычислим \( F(2) - F(1) \): \( (-\frac{1}{24} + 10) - (-\frac{1}{3} + 2) = -\frac{1}{24} + 10 + \frac{1}{3} - 2 \).
10. Приведём дроби к общему знаменателю 24: \( -\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{7}{24} \).
11. Объединим целые числа: \( 10 - 2 = 8 \).
12. Сложим результат: \( 8 + \frac{7}{24} = 8 \frac{7}{24} \).

Ответ: \( 8 \frac{7}{24} \).