3. Упростите выражение: cos² α - (ctg²α + 1) · sin² α.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и свойством котангенса.

1. Вспомним основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
2. Вспомним основное тригонометрическое тождество для котангенса: \( 1 + \text{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \).
3. Подставим это во вторую часть выражения: \( \cos^2 \alpha - (\frac{1}{\sin^2 \alpha}) \cdot \sin^2 \alpha \).
4. Сократим \( \sin^2 \alpha \): \( \cos^2 \alpha - 1 \).
5. Из основного тригонометрического тождества \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) следует, что \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \).

Ответ: \( -\sin^2 \alpha \).