2. Найдите угловой коэффициент функции f(x) в точке x₀: f(x) = \( \frac{5\sin x}{\cos x} + 11 \), x₀ = \( \frac{\pi}{4} \).

Решение:

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \( x_0 \) равен значению производной этой функции в данной точке, то есть \( f'(x_0) \).

1. Упростим функцию: \( f(x) = 5 \frac{\sin x}{\cos x} + 11 = 5 \tan x + 11 \).
2. Найдём производную функции \( f(x) \): \( f'(x) = \frac{d}{dx}(5 \tan x + 11) \).
3. Производная от \( 5 \tan x \) равна \( 5 \cdot \frac{1}{\cos^2 x} \) или \( 5 \sec^2 x \). Производная от константы 11 равна 0.
4. Итак, \( f'(x) = \frac{5}{\cos^2 x} \).
5. Теперь вычислим значение производной в точке \( x_0 = \frac{\pi}{4} \).
6. Найдем значение \( \cos(\frac{\pi}{4}) \): \( \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
7. Возведём в квадрат: \( \cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).
8. Подставим это значение в формулу производной: \( f'(\frac{\pi}{4}) = \frac{5}{1/2} = 5 \cdot 2 = 10 \).

Ответ: угловой коэффициент равен 10.