4. Вычислите: а) 6¹⁵ * 6¹¹ / 6²⁴; б) (5³) * 3¹⁶ / (9 * 225⁷).

Решение:

1. а) \[ \frac{6^{15} \cdot 6^{11}}{6^{24}} \]
   1. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:
   2. \[ \frac{6^{15 + 11}}{6^{24}} = \frac{6^{26}}{6^{24}} \]
   3. При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:
   4. \[ 6^{26 - 24} = 6^2 = 36 \]
2. б) \[ \frac{(5^3) \cdot 3^{16}}{9 \cdot 225^7} \]
   1. Представим числа в виде простых множителей:
   2. \[ 9 = 3^2 \]
   3. \[ 225 = 15^2 = (3 \cdot 5)^2 = 3^2 \cdot 5^2 \]
   4. Подставим в исходное выражение:
   5. \[ \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^2 \cdot 5^2)^7} = \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^2 \cdot (3^{14} \cdot 5^{14})} \]
   6. \[ \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^{2+14} \cdot 5^{14}} = \frac{5^3 \cdot 3^{16}}{3^{16} \cdot 5^{14}} \]
   7. Сократим одинаковые степени:
   8. \[ \frac{5^3}{5^{14}} = 5^{3-14} = 5^{-11} = \frac{1}{5^{11}} \]

Ответ: а) 36; б) \[ \frac{1}{5^{11}} \]