4. В треугольнике ABC проведена биссектриса CE. Найдите величину угла BCE, если ∠BAC = 46° и ∠ABC = 78°. Ответ дайте в градусах. ИЛИ В треугольнике ABC на стороне AC отметили произвольную точку M. В треугольнике ABM провели биссектрису MK. В треугольнике CBM построили высоту MP. Угол KMP равен 90°, CM = 12. Найдите BM.

Первый вариант.

Сумма углов треугольника равна \(180^\circ\):

\(\angle ACB=180^\circ-46^\circ-78^\circ=56^\circ\).

Так как \(CE\) — биссектриса угла \(ACB\), то:

\(\angle BCE=\dfrac{56^\circ}{2}=28^\circ\).

Ответ: 28°.

Второй вариант.

Так как \(MP\) — высота треугольника \(CBM\), то \(MP\perp CB\). По условию \(\angle KMP=90^\circ\), значит \(MK\perp MP\), следовательно, \(MK\parallel CB\).

Треугольники \(AMK\) и \(ACB\) подобны, поэтому \(\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AM}{AC}\). Следовательно, \(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AM}{MC}\).

Поскольку \(MK\) — биссектриса угла \(AMB\), по теореме о биссектрисе:

\(\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{AM}{BM}\).

Отсюда \(BM=MC=12\).

Ответ: 12.