4. Упростите выражение \(\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t}\).

Решение:

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: \(\cos 2t = \cos^2 t - \sin^2 t\). Эта формула является разностью квадратов.

Преобразуем выражение:

1. \(\frac{\cos 2t}{\cos t - \sin t} = \frac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t - \sin t}\)
2. Разложим числитель как разность квадратов: \(\cos^2 t - \sin^2 t = (\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)\).
3. Подставим в дробь: \(\frac{(\cos t - \sin t)(\cos t + \sin t)}{\cos t - \sin t}\)
4. Сократим одинаковые множители \((\cos t - \sin t)\) (при условии, что \(\cos t - \sin t \neq 0\), то есть \(\cos t \neq \sin t\), что верно, так как \(t \neq \frac{\pi}{4} + \pi k\)):
5. \(\cos t + \sin t\)

Ответ: \(\cos t + \sin t\).