1. Решите уравнения: a) cos\(\frac{\pi(4x-10)}{4}\) = \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). В ответе укажите наименьший положительный корень и наибольший отрицательный корень; б) \(\log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39\).

Решение:

а) Решение уравнения \(\cos{\frac{\pi(4x-10)}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\):

1. Общее решение уравнения \(\cos t = \frac{\sqrt{2}}{2}\) имеет вид \(t = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).
2. Подставим \(t = \frac{\pi(4x-10)}{4}\):
• Случай 1: \(\frac{\pi(4x-10)}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi k\)
• Разделим обе части на \(\pi\): \(\frac{4x-10}{4} = \frac{1}{4} + 2k\)
• Умножим на 4: \(4x - 10 = 1 + 8k\)
• \(4x = 11 + 8k\)
• \(x = \frac{11 + 8k}{4}\)
• Случай 2: \(\frac{\pi(4x-10)}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k\)
• Разделим обе части на \(\pi\): \(\frac{4x-10}{4} = -\frac{1}{4} + 2k\)
• Умножим на 4: \(4x - 10 = -1 + 8k\)
• \(4x = 9 + 8k\)
• \(x = \frac{9 + 8k}{4}\)
3. Найдём наименьший положительный корень.
• Из \(x = \frac{11 + 8k}{4}\):
• При \(k = 0\): \(x = \frac{11}{4} = 2.75\) (положительный)
• При \(k = -1\): \(x = \frac{11 - 8}{4} = \frac{3}{4} = 0.75\) (положительный)
• При \(k = -2\): \(x = \frac{11 - 16}{4} = -\frac{5}{4}\) (отрицательный)
• Из \(x = \frac{9 + 8k}{4}\):
• При \(k = 0\): \(x = \frac{9}{4} = 2.25\) (положительный)
• При \(k = -1\): \(x = \frac{9 - 8}{4} = \frac{1}{4} = 0.25\) (положительный)
• При \(k = -2\): \(x = \frac{9 - 16}{4} = -\frac{7}{4}\) (отрицательный)
4. Наименьший положительный корень — \(0.25\).
5. Найдём наибольший отрицательный корень.
• Из \(x = \frac{11 + 8k}{4}\):
• При \(k = -1\): \(x = \frac{3}{4}\) (положительный)
• При \(k = -2\): \(x = -\frac{5}{4} = -1.25\) (отрицательный)
• При \(k = -3\): \(x = \frac{11 - 24}{4} = -\frac{13}{4}\) (отрицательный)
• Из \(x = \frac{9 + 8k}{4}\):
• При \(k = -1\): \(x = \frac{1}{4}\) (положительный)
• При \(k = -2\): \(x = -\frac{7}{4} = -1.75\) (отрицательный)
• При \(k = -3\): \(x = \frac{9 - 24}{4} = -\frac{15}{4}\) (отрицательный)
6. Наибольший отрицательный корень — \(-1.25\).

б) Решение уравнения \(\log_5 13 + \log_5 x = \log_5 39\):

1. Используем свойство логарифмов \(\log_a M + \log_a N = \log_a (M \cdot N)\):
• \(\log_5 (13 \cdot x) = \log_5 39\)
2. Поскольку основания логарифмов равны, приравниваем аргументы:
• \(13x = 39\)
3. Решаем уравнение:
• \(x = \frac{39}{13}\)
• \(x = 3\)

Ответ: а) наименьший положительный корень \(0.25\), наибольший отрицательный корень \(-1.25\); б) \(x = 3\).